Ciao Gianluca,
hai fatto parecchie domande e molte ipotesi...Ma facciamo prima un po' di chiarezza:
- Il DNS e il DDNS sono 2 cose diverse, non li confondere!
- Ci sono parecchi modem/router Telecom con la scocca simile o uguale, ma che all'interno sono completamente diversi, quindi ti consiglio di dare uno sguardo a
questo post per identificarli correttamente
- Ogni modello ha un firmware diverso e non tutti hanno la stessa interfaccia (i vecchi modelli non li aggiornano)
- In questi modem/router non c'è nessuna batteria tampone, all'avvio partono da una data prefissata o dall'ultima data salvata e appena stabiliscono una connessione ad Internet aggiornano la data e l'ora attraverso un server NTP
- Questi dispositivi si auto-aggiornano via "Telegestione", cioè attraverso il protocollo TR-069 (che serve proprio per controllare ed aggiornare questi dispositivi da remoto). Inoltre riescono a farlo solo se sono connessi a ad una linea Telecom e non hanno un firmware troppo vecchio (certificato di autenticazione scaduto)
Veniamo a noi,
da quello che leggo tu hai un AGTWI, che è un modello che non possiedo, quindi non posso darti dei suggerimenti precisi

Probabilmente le impostazioni del server NTP sono errate e per questo la data è sbagliata o il servizio è disabilitato...
La mancata sincronizzazione del tuo account DDNS potrebbe dipendere anche da questo problema, ma non è detto! Se nell'interfaccia c'è scritto "NON ATTIVO" forse c'è qualche impostazione da attivare nell'interfaccia, o a limite da modificare a mano nel file di configurazione
Se vuoi puoi anche provare a cambiarci firmware mettendone uno "no-brand" che permette una configurazione molto più personalizzata. Questa è la guida:
https://www.ilpuntotecnico.com/forum/index.php/topic,74457.0.htmlPurtroppo non posso dirti molto di più perché non ho esperienze dirette sull'AGTWI